圆形练习题及答案（三）

概要：O的切线交AB的延长线于F．切点为G，连接AG交CD于K．（1）求证：KE=GE；（2）若=KD·GE，试判断AC与EF的位置关系，并说明理由；（3）在（2）的条件下，若sinE=，AK=，求FG的长．【答案】解：（1）证明：如答图1，连接OG。∵EG为切线，∴∠KGE+∠OGA=90°。∵CD⊥AB，∴∠AKH+∠OAG=90°。又OA=OG，∴∠OGA=∠OAG。∴∠KGE=∠AKH=∠GKE。∴KE=GE。（2）AC∥EF，理由如下：连接GD，如答图2所示。∵KG2=KD•GE，∴。又∵∠KGE=∠GKE，∴△GKD∽△EGK。∴∠E=∠AGD。又∵∠C=∠AGD，∴∠E=∠C。∴AC∥EF。（3）连接OG，OC，如答图3所示。由（2）∠E=∠ACH，∴sinE=sin∠ACH=。

11.（2012四川泸州3分）用一个圆心角为120°，半径为4的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为▲

【答案】。

【考点】弧长的计算。

【分析】利用底面周长=展开图的弧长可得：

，解得r=。

三、解答题

1.（2012四川成都10分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线交AB的延长线于F．切点为G，连接AG交CD于K．

　（1）求证：KE=GE；

　（2）若=KD·GE，试判断AC与EF的位置关系，并说明理由；

　（3）在（2）的条件下，若sinE=，AK=，求FG的长．

【答案】解：（1）证明：如答图1，连接OG。

∵EG为切线，∴∠KGE+∠OGA=90°。

∵CD⊥AB，∴∠AKH+∠OAG=90°。

又OA=OG，∴∠OGA=∠OAG。

∴∠KGE=∠AKH=∠GKE。∴KE=GE。

（2）AC∥EF，理由如下：连接GD，如答图2所示。

∵KG2=KD•GE，∴。

又∵∠KGE=∠GKE，∴△GKD∽△EGK。

∴∠E=∠AGD。

又∵∠C=∠AGD，∴∠E=∠C。∴AC∥EF。

（3）连接OG，OC，如答图3所示。由（2）∠E=∠ACH，∴sinE=sin∠ACH=。

∴可设AH=3t，则AC=5t，CH=4t。

∵KE=GE，AC∥EF，∴CK=AC=5t。∴HK=CK﹣CH=t。

在Rt△AHK中，根据勾股定理得AH2+HK2=AK2，即（3t）2+t2=（）2，解得t=。

设⊙O半径为r，在Rt△OCH中，OC=r，OH=r﹣3t，CH=4t，

由勾股定理得：OH2+CH2=OC2，即（r﹣3t）2+（4t）2=r2，解得r=t=。

∵EF为切线，∴△OGF为直角三角形。

在Rt△OGF中，OG=r=，tan∠OFG=tan∠CAH=，

∴FG=。

【考点】切线的性质，勾股定理，垂径定理，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行的判定，锐角三角函数定义。

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