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圆形练习题及答案(六)

[03-14 16:56:47]   来源:http://www.jdxx5.com  初三数学试题   阅读:92532

概要:如图,在△ABC中,∠BAC=90°,BM平分∠ABC交AC于M,以A为圆心,AM为半径作OA交BM于N,AN的延长线交BC于D,直线AB交OA于P、K两点.作MT⊥BC于T(1)求证AK=MT;(2)求证:AD⊥BC;(3)当AK=BD时, 求证:.【答案】证明:(1)∵∠BAC=90°,BM平分∠ABC交AC于M,MT⊥BC,∴AM=MT。又∵AM=AK,∴AK=MT。(2)∵BM平分∠ABC交AC于M,∴∠ABM=∠CBM。又∵AM=AN,∴∠AMN=∠ANM。又∵∠ANM=∠BND,∴∠AMN=∠BND。∵∠BAC=900,∴∠ABM+∠AMB=900。∴∠CBM+∠BND=900。∴∠BDN=900。∴AD⊥BC。(3)∵BNM和BPK是⊙A的割线,∴BN·BM=BP&middo

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,解得

,∴

②不存在。理由如下:

∴当时,S取得最小值为

,∴不存在这样实数a,使S<

【考点】圆周角定理,等腰直角三角形的判定和性质,勾股定理,解一元二次方程,二次函数的最值。

【分析】(1)根据已知条件,证出△APF、△OEF与△OAB均为等腰直角三角形即易求出△OEF的面积。

(2)①由S1=S2列出方程,解之即可。

②求出S关于的函数关系式,由二次函数的最值求出S的最小值,与比较即可。

9. (江苏省苏州市2008年9分))如图,在△ABC中,∠BAC=90°,BM平分∠ABC交AC于M,以A

为圆心,AM为半径作OA交BM于N,AN的延长线交BC于D,直线AB交OA于P、K两点.作MT⊥BC

于T

(1)求证AK=MT;  

(2)求证:AD⊥BC;

(3)当AK=BD时, 求证:

【答案】证明:(1)∵∠BAC=90°,BM平分∠ABC交AC于M,MT⊥BC,∴AM=MT。

又∵AM=AK,∴AK=MT。

(2)∵BM平分∠ABC交AC于M,∴∠ABM=∠CBM。

又∵AM=AN,∴∠AMN=∠ANM。

又∵∠ANM=∠BND,∴∠AMN=∠BND。

∵∠BAC=900,∴∠ABM+∠AMB=900。∴∠CBM+∠BND=900。

∴∠BDN=900。∴AD⊥BC。

(3)∵BNM和BPK是⊙A的割线,∴BN·BM=BP·BK。即

∵AK=BD,AK=MT,∴BD=MT。

∵AD⊥BC,MT⊥BC,∴∠ADB=∠MTC=900。∴∠C+∠CMT=900。

∵∠BAC=900,∴∠C+∠ABC=900。∴∠ABM=∠CMT。

在△ABD和△CMT中,∵,∴△ABD≌△CMT(ASA)。

∴AB=MC。

∵AK=AM,∴AB+AK=MC+AM,即BK=AC。∴

【考点】角平分线的性质,三角形内角和定理,等腰三角形的性质,对顶角的性质,垂直的判定,割线长定理,全等三角形的判定和性质。

【分析】(1)根据角平分线上的点到角两边距离相等的性质,有AM=MT,从而由圆的半径相等结论。

(2)由已知,根据角平分线的性质、等腰三角形的性质和对顶角的性质即能得到∠CBM+∠BND=900的结论,从而根据三角形内角和定理得到∠BDN=900,即AD⊥BC。

(3)根据割线长定理,有

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