反函数有关的典型题目总结

概要：y=-x对称 解答：y=f(x+1)与y=f-1(x+1)图象是分别将y=f(x), y=f-1(x)的图象向左平移一个单位所得，∵ y=f(x)与y=f-1(x)的图象关于直线y=x对称，y=x向左平移一个单位而得y=x+1. 故选B. 典型题目三:定义在R上的函数y=f(x)有反函数，则函数y=f(x+a)+b的图象与y=f-1(x+a)+b的图象间的关系是（）. A、关于直线y=x+a+b对称B、关于直线x=y+a+b对称 C、关于直线y=x+a-b对称D、关于直线x=y+a-b对称 解答:将y=x向左平移a个单位，向上平移b个单位得y=x+a+b，故选A. 典型题目四：求下列函数的反函数： (1)y=x2+2x-2, x∈[-3,-2]; (2)y=. 解：（1）∵ y=(x+1)2-3, x∈[-3,-2], ∴ -2≤y≤1且(x+1)2=y+3.∴ x+1=-, y=-1-, ∴ 所求反函数y=-1--2≤x≤1. (2)若x≤0，则y=x2≥0, x=-. 若x>0, 则 y=-x-1<-1, x=-y-1.&there

　　典型题目一：若函数f(x)的图象过（0，1）点，则f^-1(x+4)的图象必过点___________．
　　分析：∵f(x)的图象过（0，1）点，∴ f^-1(x)的图象过（1，0）点，而f^-1(x+4)的图象是把y=f^-1(x)的图象向左平移4个单位而得到的，故f^-1(x+4)的图象过(-3,0)点．
　　典型题目二:函数y=f(x+1)与函数y=f^-1(x+1)的图象（　 ） .
　　A、关于直线y=x对称　　　 B、关于直线y=x+1对称
　　C、关于直线y=x-1对称　 　D、关于直线y=-x对称
　　解答：y=f(x+1)与y=f^-1(x+1)图象是分别将y=f(x), y=f^-1(x)的图象向左平移一个单位所得，∵ y=f(x)与y=f^-1(x)的图象关于直线y=x对称，y=x向左平移一个单位而得y=x+1. 故选B.
　　典型题目三:定义在R上的函数y=f(x)有反函数，则函数y=f(x+a)+b的图象与y=f^-1(x+a)+b的图象间的关系是
（　）.
　　A、关于直线y=x+a+b对称　　　B、关于直线x=y+a+b对称
　　C、关于直线y=x+a-b对称　　　D、关于直线x=y+a-b对称
　　解答:将y=x向左平移a个单位，向上平移b个单位得y=x+a+b，故选A.
　　典型题目四：求下列函数的反函数：
　　(1)y=x²+2x-2, x∈[-3,-2];
　　(2)y=.
　　解：（1）∵ y=(x+1)²-3, x∈[-3,-2],
　　∴ -2≤y≤1且(x+1)²=y+3.
　　∴ x+1=-, y=-1-,
　　∴ 所求反函数y=-1--2≤x≤1.
　　(2)若x≤0，则y=x²≥0, x=-.
　　若x>0, 则 y=-x-1<-1, x=-y-1.
　　∴ 所求反函数y=.
　　评注：求函数y=f(x)的反函数的一般步骤是
　　（1）确定原函数的值域，也就是反函数的定义域．
　　（2）由y=f(x)的解析式求出x=f^-1(y).
　　（3）将x、y交换位置得y=f^-1(x)．
　　（4）求分段函数的反函数，应分别求出各段的反函数，它们联合在一起构成原函数的反函数．
　　典型题目五：设y=f(x)是单调函数，求证：f(x)的反函数y=f^-1(x)是单调函数，且其增减性与f(x)增减性一致．
　　证明：以y=f(x)为增函数时情况加以证明，用反证法．
　　设x₁<x₂, y₁=f^-1(x₁), y₂=f^-1(x₂), 证明y₁<y₂.
　　反之若y₁≥y₂, 由于f(x)是增函数，∴f(y₁)≥f(y₂), 而f(y₁)=x₁, f(y₂)=x₂,
　　∴x₁≥x₂与x₁<x₂矛盾，∴ y₁<y₂, 即f^-1(x)为增函数．当y=f(x)是减函数时，同理可证．  
　　典型题目六：设y=f(x)=, y=g(x)的图象与 y=f^-1(x+1)的图象关于y=x对称，求g(3)的值．
　　解：由y=f^-1(x+1), f(y)=x+1.
　　∴ x=f(y)-1, y=f(x)-1是y=f^-1(x+1)的反函数，即它们关于y=x对称．所以g(x)=f(x)-1,
　　∴g(3)=f(3)-1=-1=．
　　分析：还可以先求出f^-1(x)，然后求f^-1(x+4)，然后求出f^-1(x+4)的反函数就是y=g(x)的表达式子.
　　评注：灵活应用反函数的定义，显得轻盈活泼．