直线与双曲线的位置关系应用

概要：直线与双曲线的位置关系例 已知不论b取何实数，直线y=kx+b与双曲线x2－2y2=1总有公共点，试求实数k的取值范围.分析 联立方程组，结合数形讨论解 联立方程组 消去y得(2k2—1)x2+4kbx+2b2+1=0,当 时，直线与双曲线的渐近线平行，（1）当 时，有一个交点；（2）当 时，没有交点，所以不合题意．当 时，依题意有△=(4kb)2—4(2k2—1)(2b2+1)=—4(2k2—2b2—1)≥0，对所有实数b恒成立，∴2k2—1≤0，得 所以 评析 利用数形结合法或将它们的方程组成的方程组转化为一元二次方程，利用判别式、韦达定理来求解或证明．注意：与双曲线只有一个公共点的直线有两种．一种是与渐近线平行的两条与双曲线交于一点的直线．另一种是与双曲线相切的直线也有两条．备选题例3： 代表实数，讨论方程 所表示的曲线.解： 当 时，曲线 为焦点在 轴的双曲线；当 时，曲线 为两条平行于 轴的直线 ；当 时，曲线 为焦点在 轴的椭圆；当 时，曲线 为一个圆；当 时，曲线 为焦点在 轴的椭圆 评析：针对 的各种情形进行分类讨论.

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直线与双曲线的位置关系
例 已知不论b取何实数，直线y=kx+b与双曲线x²－2y²=1总有公共点，试求实数k的取值范围.
分析 联立方程组，结合数形讨论
解 联立方程组 消去y得(2k²—1)x²+4kbx+2b²+1=0,
当 时，直线与双曲线的渐近线平行，
（1）当 时，有一个交点；
（2）当 时，没有交点，所以不合题意．
当 时，依题意有△=(4kb)²—4(2k²—1)(2b²+1)=—4(2k²—2b²—1)≥0，对所有实数b恒成立，∴2k²—1≤0，得  所以
评析  利用数形结合法或将它们的方程组成的方程组转化为一元二次方程，利用判别式、韦达定理来求解或证明．注意：与双曲线只有一个公共点的直线有两种．一种是与渐近线平行的两条与双曲线交于一点的直线．另一种是与双曲线相切的直线也有两条．
备选题
例3： 代表实数，讨论方程 所表示的曲线.
解：   当 时，曲线 为焦点在 轴的双曲线；
当 时，曲线 为两条平行于 轴的直线 ；
当 时，曲线 为焦点在 轴的椭圆；
当 时，曲线 为一个圆；
当 时，曲线 为焦点在 轴的椭圆
评析：针对 的各种情形进行分类讨论.