椭圆的长短轴的长、焦点顶点坐标等的求法

概要：b，进而求出其他有关性质题型二 椭圆的几何性质简单应用例2 设椭圆的两个焦点分别为F1、、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是( )A． B． C． D． 分析 利用椭圆的几何性质和定义解一 设椭圆方程为 ，依题意，显然有 ，则 ，即 ，即 ，解得 ．选D．解二 ∵△F1PF2为等腰直角三角形，∴ .∵ ，∴ ，∴ ．故选D．评析 解法一中的 是椭圆的通径，它是椭圆经过焦点的所有弦中最短的一条题型备选题例3： 椭圆 (a>b>0)的左焦点F到过顶点A(-a, 0), B(0,b)的直线的距离等于 ，求该椭圆的离心率. 解本题条件不易用平面几何知识转化，因而过A、B的方程为 ，左焦点F(-c,0)，则 ，化简，得5a2-14ac+8c2=0 得 或 （舍）， 评析： 应熟悉各方程的标准形式及各参数之间的关系和几何意义.若题面改为“双曲线 (a>b>0)”，则由“a>b>0”这个隐含条件可知离心率e的范围限制，即a>b>0,∴ a2>b2, ∴a2>c2-a2 从而 .

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求椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标等．
例1 已知椭圆 的离心率 ，求 的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．
解 把椭圆的方程写成： ， ， ， 由 ，得 ，   椭圆的标准方程为： ，故椭圆的长轴长为2，短轴长为1，两焦点坐标分别为 ，四个顶点坐标分别为
评析： 解决此类问题的关键是将所给的方程正确地化成椭圆的标准方程，然后判断焦点在哪个坐标轴上，准确的求出a,b，进而求出其他有关性质
题型二 椭圆的几何性质简单应用
例2  设椭圆的两个焦点分别为F_1、、F₂，过F₂作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F₁PF₂为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是(    )
A．             B．         C．    D．
分析  利用椭圆的几何性质和定义
解一  设椭圆方程为 ，依题意，显然有 ，则 ，即 ，即 ，解得 ．选D．
解二  ∵△F₁PF₂为等腰直角三角形，∴ .
∵ ，∴ ，∴ ．故选D．
评析  解法一中的 是椭圆的通径，它是椭圆经过焦点的所有弦中最短的一条题型
备选题
例3： 椭圆 (a>b>0)的左焦点F到过顶点A(-a, 0), B(0,b)的直线的距离等于 ，求该椭圆的离心率.
   解本题条件不易用平面几何知识转化，因而过A、B的方程为 ，左焦点F(-c,0)，则 ，化简，得5a²-14ac+8c²=0 得 或 （舍）， 
评析： 应熟悉各方程的标准形式及各参数之间的关系和几何意义.若题面改为“双曲线 (a>b>0)”，则由“a>b>0”这个隐含条件可知离心率e的范围限制，即a>b>0,∴ a²>b², ∴a²>c²-a² 从而 .