抽象函数的研究技巧方法

概要：， ；③指数函数型： ， ； ④对数函数型： - ， ； ⑤三角函数型： - 。如已知 是定义在R上的奇函数，且为周期函数，若它的最小正周期为T，则 ____（答：0）2．利用函数的性质（如奇偶性、单调性、周期性、对称性等）进行演绎探究：如（1）设函数 表示 除以3的余数，则对任意的 ，都有A、 B、 C、 D、 （答：A）；（2）设 是定义在实数集R上的函数，且满足 ，如果 ， ，求 （答：1）；（3）如设 是定义在 上的奇函数，且 ，证明：直线 是函数 图象的一条对称轴；（4）已知定义域为 的函数 满足 ，且当 时， 单调递增。如果 ，且 ，则 的值的符号是____（答：负数）3．利用一些方法（如赋值法（令 ＝0或1，求出 或 、令 或 等）、递推法、反证法等）进行逻辑探究。如（1）若 ， 满足 ，则 的奇偶性是______（答：奇函数）；（2）若 ， 满足 ，则 的奇偶性是______（答：偶函数）；（3）已知 是定义在 上的奇函数，当 时， 的图像如右图所示，那么不等式 的解集是_____________（答： ）；（4）设 的定义域为 ，对任意 ，都有 ，且 时， ，又 ，①求证 为减函数；②解不等式 .（答： ）．

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抽象函数的研究技巧方法
抽象函数：抽象函数通常是指没有给出函数的具体的解析式，只给出了其它一些条件（如函数的定义域、单调性、奇偶性、解析递推式等）的函数问题。求解抽象函数问题的常用方法是：
1．借鉴模型函数进行类比探究。几类常见的抽象函数 ：
①正比例函数型：  --------------- ；
②幂函数型：  -------------- ， ；
③指数函数型：  ------------ ， ；
④对数函数型：  ----- ， ；
⑤三角函数型：  ----- 。如已知 是定义在R上的奇函数，且为周期函数，若它的最小正周期为T，则 ____（答：0）
2．利用函数的性质（如奇偶性、单调性、周期性、对称性等）进行演绎探究：如
（1）设函数 表示 除以3的余数，则对任意的 ，都有
A、  B、
C、  D、
（答：A）；
（2）设 是定义在实数集R上的函数，且满足 ，如果 ， ，求
（答：1）；
（3）如设 是定义在 上的奇函数，且 ，证明：直线 是函数 图象的一条对称轴；
（4）已知定义域为 的函数 满足 ，且当 时， 单调递增。如果 ，且 ，则 的值的符号是____
（答：负数）
3．利用一些方法（如赋值法（令 ＝0或1，求出 或 、令 或 等）、递推法、反证法等）进行逻辑探究。如
（1）若 ， 满足 ，则 的奇偶性是______
（答：奇函数）；
（2）若 ， 满足 ，则 的奇偶性是______
（答：偶函数）；
（3）已知 是定义在 上的奇函数，当 时， 的图像如右图所示，那么不等式 的解集是_____________
（答： ）；
（4）设 的定义域为 ，对任意 ，都有 ，且 时， ，又 ，①求证 为减函数；②解不等式 .
（答： ）．