什么是排列组合

概要：成一排，求 (1)甲不在排头，乙不在排尾的排列数 (2)甲不在排头，乙不在排尾，且甲乙不相邻的排法数 分析：（1）先考虑排头，排尾，但这两个要求相互有影响，因而考虑分类。 第一类：乙在排头，有种站法。 第二类：乙不在排头，当然他也不能在排尾，有种站法， 共+种站法。 （2）第一类：甲在排尾，乙在排头，有种24方法。 第二类：甲在排尾，乙不在排头，有种72方法。 第三类：乙在排头，甲不在排头，有种72方法。 第四类：甲不在排尾，乙不在排头，有144种方法。 共72+72+24+144=312种。 例10．对某件产品的6件不同正品和4件不同次品进行一一测试，至区分出所有次品为止。若所有次品恰好在第五次测试时被全部发现，则这样的测试方法有多少种可能? 分析：本题意指第五次测试的产品一定是次品，并且是最后一个次品，因而第五次测试应算是特殊位置了，分步完成。 第一步：第五次测试的有C(4.1)种可能； 第二步：前四次有一件正品有C(6.1)种可能。 第三步：前四次有P(4.4)种可能。 ∴C(4.1)*C(6.1)*P(4.4)=24 以下内容为很渴望的朋友准备，别闲烦啊！ 捆绑与插空 例11. 8人排成一队 (1)甲乙必须相邻 (2)甲乙

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　　抽出的三数含0，含9，有种16方法；
　　抽出的三数含0不含9，有种24方法；
　　抽出的三数含9不含0，有种36方法；
　　抽出的三数不含9也不含0，有种24方法。
　　又因为数字9可以当6用，因此共有2*(16+36)+24+24=152种方法。
　　例8．停车场划一排12个停车位置，今有8辆车需要停放，要求空车位连在一起，不同的停车方法是________种。
　　分析：把空车位看成一个元素，和8辆车共九个元素排列，因而共有9种停车方法。
　　3．特殊元素，优先处理；特殊位置，优先考虑
　　例9．六人站成一排，求
　　(1)甲不在排头，乙不在排尾的排列数
　　(2)甲不在排头，乙不在排尾，且甲乙不相邻的排法数
　　分析：（1）先考虑排头，排尾，但这两个要求相互有影响，因而考虑分类。
　　第一类：乙在排头，有种站法。
　　第二类：乙不在排头，当然他也不能在排尾，有种站法，
　　共+种站法。
　　（2）第一类：甲在排尾，乙在排头，有种24方法。
　　第二类：甲在排尾，乙不在排头，有种72方法。
　　第三类：乙在排头，甲不在排头，有种72方法。
　　第四类：甲不在排尾，乙不在排头，有144种方法。
　　共72+72+24+144=312种。
　　例10．对某件产品的6件不同正品和4件不同次品进行一一测试，至区分出所有次品为止。若所有次品恰好在第五次测试时被全部发现，则这样的测试方法有多少种可能?
　　分析：本题意指第五次测试的产品一定是次品，并且是最后一个次品，因而第五次测试应算是特殊位置了，分步完成。
　　第一步：第五次测试的有C(4.1)种可能；
　　第二步：前四次有一件正品有C(6.1)种可能。
　　第三步：前四次有P(4.4)种可能。
　　∴C(4.1)*C(6.1)*P(4.4)=24
　　以下内容为很渴望的朋友准备，别闲烦啊！
　　捆绑与插空
　　例11. 8人排成一队
　　(1)甲乙必须相邻 (2)甲乙不相邻
　　(3)甲乙必须相邻且与丙不相邻 (4)甲乙必须相邻，丙丁必须相邻
　　(5)甲乙不相邻，丙丁不相邻
　　分析：（1）有种P(7.7)*2方法。
　　（2）有P(8.8)-P(7.7)*2种方法。
　　（3）有P(6.6)*2*2+ P(7.7)*2-P(6.6)*2*2种方法。
　　（4）有P(6.6)*2*2种方法。
　　（5）本题不能用插空法，不能连续进行插空。
　　有P(8.8)-P(7.7)*2*2+P(6.6)*2*2种方法。
　　例12. 某人射击8b88枪88b，命中4b88枪88b，恰好有三b88枪88b连续命中，有多少种不同的情况?
　　分析：∵ 连续命中的三b88枪88b与单独命中的一b88枪88b不能相邻，因而这是一个插空问题。另外没有命中的之间没有区别，不必计数。即在四发空b88枪88b之间形成的5个空中选出2个的排列，即P(5.2)。
　　例13. 马路上有编号为l，2，3，……，10 十个路灯，为节约用电又看清路面，可以把其中的三只灯关掉，但不能同时关掉相邻的两只或三只，在两端的灯也不能关掉的情况下，求满足条件的关灯方法共有多少种?
　　分析：即关掉的灯不能相邻，也不能在两端。又因为灯与灯之间没有区别，因而问题为在7盏亮着的灯形成的不包含两端的6个空中选出3个空放置熄灭的灯。
　　∴ 共C(6.3)=20种方法。
　　4．间接计数法.(1)排除法
　　例14. 三行三列共九个点，以这些点为顶点可组成多少个三角形?
　　分析：有些问题正面求解有一定困难，可以采用间接法。
　　所求问题的方法数=任意三个点的组合数-共线三点的方法数，
　　∴ 共C(9.3)-8种。
　　例15．正方体8个顶点中取出4个，可组成多少个四面体?
　　分析：所求问题的方法数=任意选四点的组合数-共面四点的方法数，
　　∴ 共C(8.4)-12=70-12=58个。
　　例16. l，2，3，……，9中取出两个分别作为对数的底数和真数，可组成多少个不同数值的对数?
　　分析：由于底数不能为1。
　　（1）当1选上时，1必为真数，∴ 有一种情况。
　　（2）当不选1时，从2--9中任取两个分别作为底数，真数，共，其中log24=log39，log42=log93, log23=log49, log32=log94.
　　因而一共有53个。
　　(3)补上一个阶段，转化为熟悉的问题
　　例17. 六人排成一排，要求甲在乙的前面，(不一定相邻)，共有多少种不同的方法? 如果要求甲乙丙按从左到右依次排列呢?
　　分析：（一）实际上，甲在乙的前面和甲在乙的后面两种情况对称，具有相同的排法数。因而有=360种。
　　（二）先考虑六人全排列；其次甲乙丙三人实际上只能按照一种顺序站位，因而前面的排法数重复了种， ∴ 共=120种。
　　例18．5男4女排成一排，要求男生必须按从高到矮的顺序，共有多少种不同的方法?
　　分析：首先不考虑男生的站位要求，共种；男生从左至右按从高到矮的顺序，只有一种站法，因而上述站法重复了次。因而有=9×8×7×6=3024种。
　　若男生从右至左按从高到矮的顺序，只有一种站法， 同理也有3024种，综上，有6048种。
　　例19. 三个相同的红球和两个不同的白球排成一行，共有多少种不同的方法?
　　分析：先认为三个红球互不相同，共种方法。而由于三个红球所占位置相同的情况下，共有变化，因而共=20种。
　　5．挡板的使用
　　例20．10个名额分配到八个班，每班至少一个名额，问有多少种不同的分配方法?
　　分析：把10个名额看成十个元素，在这十个元素之间形成的九个空中，选出七个位置放置档板，则每一种放置方式就相当于一种分配方式。因而共36种。
　　6．注意排列组合的区别与联系：所有的排列都可以看作是先取组合，再做全排列；同样，组合如补充一个阶段(排序)可转化为排列问题。
　　例21. 从0，l，2，……，9中取出2个偶数数字，3个奇数数字，可组成多少个无重复数字的五位数?
　　分析：先选后排。另外还要考虑特殊元素0的选取。
　　（一）两个选出的偶数含0，则有种。
　　（二）两个选出的偶数字不含0，则有种。
　　例22. 电梯有7位乘客，在10层楼房的每一层停留，如果三位乘客从同一层出去，另外两位在同一层出去，最后两人各从不同的楼层出去，有多少种不同的下楼方法?
　　分析：（一）先把7位乘客分成3人，2人，一人，一人四组，有种。

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