概要::(1)证明:在Rt△FCD中,∵G为DF的中点,∴ CG= FD.………1分同理,在Rt△DEF中,EG= FD.…………2分∴ CG=EG.…………………3分(2)(1)中结论仍然成立,即EG=CG.…………………………4分证法一:连接AG,过G点作MN⊥AD于M,与EF的延长线交于N点.在△DAG与△DCG中,∵ AD=CD,∠ADG=∠CDG,DG=DG,∴ △DAG≌△DCG.∴ AG=CG.………………………5分在△DMG与△FNG中,∵ ∠DGM=∠FGN,FG=DG,∠M
已知正方形ABCD中,E为对角线BD上一点,过E点作EF⊥BD交BC于F,连接DF,G为DF中点,连接EG,CG.
(1)求证:EG=CG;
(2)将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45º,如图②所示,取DF中点G,连接EG,CG.问(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.
(3)将图①中△BEF绕B点旋转任意角度,如图③所示,再连接相应的线段,问(1)中的结论是否仍然成立?通过观察你还能得出什么结论?(均不要求证明)
解:(1)证明:在Rt△FCD中,∵G为DF的中点,∴ CG= FD.………1分
同理,在Rt△DEF中,EG= FD.…………2分∴ CG=EG.…………………3分
(2)(1)中结论仍然成立,即EG=CG.…………………………4分
证法一:连接AG,过G点作MN⊥AD于M,与EF的延长线交于N点.
在△DAG与△DCG中,∵ AD=CD,∠ADG=∠CDG,DG=DG,
∴ △DAG≌△DCG.∴ AG=CG.………………………5分
在△DMG与△FNG中,∵ ∠DGM=∠FGN,FG=DG,∠MDG=∠NFG,
∴ △DMG≌△FNG.∴ MG=NG 在矩形AENM中,AM=EN. ……………6分
在Rt△AMG 与Rt△ENG中,∵ AM=EN, MG=NG,
∴ △AMG≌△ENG.∴ AG=EG.∴ EG=CG. ……………………………8分
证法二:延长CG至M,使MG=CG,
连接MF,ME,EC, ……………………4分
在△DCG 与△FMG中,∵FG=DG,∠MGF=∠CGD,MG=CG,
∴△DCG ≌△FMG.∴MF=CD,∠FMG=∠DCG.
∴MF∥CD∥AB.………………………5分∴ 在Rt△MFE 与Rt△CBE中,
∵ MF=CB,EF=BE,∴△MFE ≌△CBE.∴∠MEC=∠MEF+∠FEC=∠CEB+∠CEF=90°.∴ △MEC为直角三角形.∵ MG = CG,∴ EG= MC.………8分
(3)(1)中的结论仍然成立,即EG=CG.其他的结论还有:EG⊥CG.……10分